纸上谈兵: 树, 二叉树, 二叉搜索树

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

树的内控 和定义

树(Tree)是元素的集合。亲戚亲戚你们都先以比较直观的方式介绍树。下面的数据内控 是另另两个 树:

树有多个节点(node),用以储存元素。你这些节点之间存在一定的关系,用连线表示,连线称为边(edge)。边的上方节点称为父节点,下端称为子节点。树像是另另两个 不断分叉的树根。

每个节点还不能 有多个子节点(children),而该节点是相应子节点的父节点(parent)。比如说,3,5是6的子节点,6是3,5的父节点;1,8,7是3的子节点, 3是1,8,7的父节点。树有另另两个 没法 父节点的节点,称为根节点(root),如图中的6。没法 子节点的节点称为叶节点(leaf),比如图中的1,8,9,5节点。从图中还还不能 看后,上方的树总共有另另两个 层次,6存在第一层,9存在第四层。树中节点的最大层次被称为深度。也却说说,该树的深度(depth)为4。

是因为亲戚亲戚你们都从节点3始于向下看,而忽略其它次要。没法 亲戚亲戚你们都看后的是另另两个 以节点3为根节点的树:

三角形代表一棵树

再进一步,是因为亲戚亲戚你们都定义孤立的另另两个 节点是一棵树说说,从前的树就还不能 表示为根节点和子树(subtree)的关系:

上述观察实际上给了亲戚亲戚你们都一种 严格的定义树的方式:

1. 树是元素的集合。

2. 该集合还不能 为空。这时树中没法 元素,亲戚亲戚你们都称树为空树 (empty tree)

3. 是因为该集合不为空,没法 该集合有另另两个 根节点,以及0个是因为多个子树。根节点与它的子树的根节点用另另两个 边(edge)相连。

上方的第三点是以递归的方式来定义树,也却说在定义树的过程中使用了树自身(子树)。是因为树的递归内控 ,你这些树相关的操作也还不能 方便的使用递归实现。亲戚亲戚你们都将在上方看后。

(上述定义来自"Data Structures and Algorithm Analysis in C, by Mark Allen Weiss"。 我人太好 有你这些不太严格的地方。是因为说空树属于树,第三点应该是 “...以及0个和多个非空子树...” )

树的实现

树的示意图是因为给出了树的一种 内存实现方式: 每个节点储存元素和多个指向子节点的指针。然而,子节点数目是不确定的。另另两个 父节点是因为有多量的子节点,而从前父节点是因为没法 另另两个 子节点,而树的增删节点操作会让子节点的数目存在进一步的变化。你这些不确定性就是因为带来多量的内存相关操作,却说容易造成内存的浪费。

一种 经典的实现方式如下:

树的内存实现

拥有同一父节点的另另两个 节点互为兄弟节点(sibling)。上图的实现方式中,每个节点包涵盖另另两个 指针指向第另另两个 子节点,并有从前指针指向它的下另另两个 兄弟节点。从前,亲戚亲戚你们都就还不能 用统一的、确定的内控 来表示每个节点。

计算机的文件系统是树的内控 ,比如Linux文件管理背景知识中所介绍的。在UNIX的文件系统中,每个文件(文件夹同样是一种 文件),都还不能 看做是另另两个 节点。非文件夹的文件被储存在叶节点。文件夹涵盖指向父节点和子节点的指针(在UNIX中,文件夹还涵盖另另两个 指向自身的指针,这与亲戚亲戚你们都上方见到的树有所区别)。在git中,都在这类的树状内控 ,用以表达整个文件系统的版本变化 (参考版本管理三国志)。

文件树

二叉搜索树的C实现

二叉树(binary)是一种 特殊的树。二叉树的每个节点最多没法 有另另两个 子节点

二叉树

是因为二叉树的子节点数目确定,统统还不能 直接采用上图方式在内存中实现。每个节点有另另两个 左子节点(left children)右子节点(right children)。左子节点是左子树的根节点,右子节点是右子树的根节点。

是因为亲戚亲戚你们都给二叉树加另另两个 额外的条件,就还不能 得到一种 被称作二叉搜索树(binary search tree)的特殊二叉树。二叉搜索树要求:每个节点都在比它左子树的任意元素小,却说不比它的右子树的任意元素大。

(是因为亲戚亲戚你们都假设树中没法 重复的元素,没法 上述要求还不能 写成:每个节点比它左子树的任意节点大,却说比它右子树的任意节点小)

二叉搜索树,注意树中元素的大小

二叉搜索树还不能 方便的实现搜索算法。在搜索元素x的如果 ,亲戚亲戚你们都还不能 将x和根节点比较:

1. 是因为x等于根节点,没法 找到x,停止搜索 (终止条件)

2. 是因为x小于根节点,没法 搜索左子树

3. 是因为x大于根节点,没法 搜索右子树

二叉搜索树所没法 进行的操作次数最多与树的深度相等。n个节点的二叉搜索树的深度最多为n,要花费为log(n)。

下面是用C语言实现的二叉搜索树,并有搜索插入删除寻找最大最小节点的操作。每个节点中存有另另两个 指针,另另两个 指向父节点,另另两个 指向左子节点,另另两个 指向右子节点。

(从前的实现是为了方便。节点还不能 只保存有指向左右子节点的另另两个 指针,并实现上述操作。)

删除节点相对复杂。删除节点后,有时没法 进行一定的调整,以恢复二叉搜索树的性质(每个节点都在比它左子树的任意元素小,却说不比它的右子树的任意元素大)。

  • 叶节点还不能 直接删除。
  • 删除非叶节点时,比如下图中的节点8,亲戚亲戚你们都还不能 删除左子树中最大的元素(是因为右树中最大的元素),用删除的节点来补充元素8产生的空缺。但该元素是因为也都在叶节点,统统它所产生的空缺没法 你这些元素补充…… 直到最后删除另另两个 叶节点。上述过程还不能 递归实现。

删除节点

删除节点后的二叉搜索树

/* By Vamei */
/* binary search tree */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct node *position;
typedef int ElementTP;

struct node {
    position parent;
    ElementTP element;
    position lchild;
    position rchild;
};

/* pointer => root node of the tree */
typedef struct node *TREE;

void print_sorted_tree(TREE);
position find_min(TREE);
position find_max(TREE);
position find_value(TREE, ElementTP);
position insert_value(TREE, ElementTP);
ElementTP delete_node(position);

static int is_root(position);
static int is_leaf(position);
static ElementTP delete_leaf(position);
static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE, position);

void main(void) 
{
    TREE tr;
    position np;
    ElementTP element;
    tr = NULL;
    tr = insert_value(tr, 18);
    tr = insert_value(tr, 5);
    tr = insert_value(tr, 2); 
    tr = insert_value(tr, 8);
    tr = insert_value(tr, 81);
    tr = insert_value(tr, 101);
    printf("Original:\n");
    print_sorted_tree(tr);

    np = find_value(tr, 8);
    if(np != NULL) {
        delete_node(np);
        printf("After deletion:\n");
        print_sorted_tree(tr);
    }
}


/* 
 * print values of the tree in sorted order
 */
void print_sorted_tree(TREE tr)
{
    if (tr == NULL) return;
    print_sorted_tree(tr->lchild);
    printf("%d \n", tr->element);
    print_sorted_tree(tr->rchild);
}

/*
 * search for minimum value
 * traverse lchild
 */
position find_min(TREE tr)
{
    position np;
    np = tr;
    if (np == NULL) return NULL;
    while(np->lchild != NULL) {
        np = np->lchild;
    }
    return np;
}

/*
 * search for maximum value
 * traverse rchild
 */
position find_max(TREE tr)
{
    position np;
    np = tr;
    if (np == NULL) return NULL;
    while(np->rchild != NULL) {
        np = np->rchild;
    }
    return np;
}

/*
 * search for value
 *
 */
position find_value(TREE tr, ElementTP value) 
{
    if (tr == NULL) return NULL; 

    if (tr->element == value) {
        return tr;
    }
    else if (value < tr->element) {
        return find_value(tr->lchild, value);
    }
    else {
        return find_value(tr->rchild, value);
    }
}

/* 
 * delete node np 
 */
ElementTP delete_node(position np) 
{
    position replace;
    ElementTP element;
    if (is_leaf(np)) {
        return delete_leaf(np);
    }   
    else {
        /* if a node is not a leaf, then we need to find a replacement */
        replace = (np->lchild != NULL) ? find_max(np->lchild) : find_min(np->rchild);
        element = np->element;
        np->element = delete_node(replace);
        return element;
    }
}

/* 
 * insert a value into the tree
 * return root address of the tree
 */
position insert_value(TREE tr, ElementTP value) {
    position np;
    /* prepare the node */
    np = (position) malloc(sizeof(struct node));
    np->element = value;
    np->parent  = NULL;
    np->lchild  = NULL;
    np->rchild  = NULL;
 
    if (tr == NULL) tr = np;
    else {
        insert_node_to_nonempty_tree(tr, np);
    }
    return tr;
}


//=============================================

/*
 * np is root?
 */
static int is_root(position np)
{
    return (np->parent == NULL);
}

/*
 * np is leaf?
 */
static int is_leaf(position np)
{
    return (np->lchild == NULL && np->rchild == NULL);
}

/* 
 * if an element is a leaf, 
 * then it could be removed with no side effect.
 */
static ElementTP delete_leaf(position np)
{
    ElementTP element;
    position parent;
    element = np->element;
    parent  = np->parent;
    if(!is_root(np)) {
        if (parent->lchild == np) {
            parent->lchild = NULL;
        }
        else {
            parent->rchild = NULL;
        }
    }
    free(np);
    return element;
}

/*
 * insert a node to a non-empty tree
 * called by insert_value()
 */
static void insert_node_to_nonempty_tree(TREE tr, position np)
{
    /* insert the node */
    if(np->element <= tr->element) {
        if (tr->lchild == NULL) {
            /* then tr->lchild is the proper place */
            tr->lchild = np;
            np->parent = tr;
            return;
        }
        else {
            insert_node_to_nonempty_tree(tr->lchild, np);
        }
    }
    else if(np->element > tr->element) {
        if (tr->rchild == NULL) {
            tr->rchild = np;
            np->parent = tr;
            return;
        }
        else {
            insert_node_to_nonempty_tree(tr->rchild, np);
        }
    }
}

运行结果:

Original:

2

5

8

18

81

101

After deletion:

2

5

18

81

101

上述实现中的删除复杂。有一种 简单的替代操作,称为懒惰删除(lazy deletion)。在懒惰删除时,亲戚亲戚你们都未必真正从二叉搜索树中删除该节点,却说将该节点标记为“已删除”。从前,亲戚亲戚你们都只用找到元素并标记,就还不能 完成删除元素了。是因为有相同的元素重新插入,亲戚亲戚你们都还不能 将该节点找到,并撤销删除标记。

懒惰删除的实现比较简单,还不能 尝试一下。树所存在的内存空间前会是因为删除节点而减小。懒惰节点实际上是用内存空间换取操作的简便性。

总结

树, 二叉树, 二叉搜索树

二叉搜索树的删除

懒惰删除

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